Ecuaciones diferenciales ordinarias¶

Análisis cualitativo de ODE de primer orden¶

M. en C. Jonathan A. Urrutia Anguiano

$\def\dd{\text{d}}$ $\def\dv#1#2{\dfrac{\text{d} #1}{\text{d}#2}}$ $\def\mdv#1#2#3{\dfrac{\text{d}^{#3} #1}{\text{d}#2^{#3}}}$ $\def\vb#1{\mathbf{#1}}$ $\def\pdv#1#2#3{\dfrac{\partial^{#3} #1}{\partial #2^{#3}}}$ \vskip-\parskip \vskip-\baselineskip

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden¶

Una *ordinary differential equation* (ODE) de primer orden en su forma explícita se escribe como

$$ \begin{aligned} \dv{y(t)}{t} = f(y,t), \end{aligned} $$

donde $f$ es función de nuestra variable a determinar $y(t)$ con $t$ su variable dependiente. Desafortunadamente, no siempre es posible encontrar una solución analítica a dicha ODE sin embargo, es posible estimar la solución mediante un análisis cualitativo.

Análisis cualitativo de ODE de 1er orden¶

Partamos de la expresión: $$ \begin{aligned} \dv{y(t)}{t} = f(y,t). \end{aligned} $$

Notemos que

  • La derivada $\dd{y(t)}/\dd{t}$ indica, geométricamente, la recta pendiente a $y$ en cada punto,
  • Al evaluar $f(y,t)$ para diversos valores de $y$ y de $y$ es posible graficar el campo de pendientes (también llamado de velocidades) de la función $y$
  • Las ODE son deterministas

Por lo anterior, una vez graficado el campo de velocidades,es posible conocer la solución dada para una condición inicial escogida al escoger un punto de la cuadrícula y seguir la recta tangete.

Ejemplo: Ley de enfriamiento de Newton¶

La ley de enfriamiento de Newton describe de forma fenomenológica cómo llega al equilibrio término un objeto que inicalmente, al tiempo $t_0$ se encontraba a una temperatura $T_0$ mayor a la temperatura del ambiente $T_a$. Dado que se observa que los objetos se enfrían más rápido mientras más calientes están y esta rapidez de enfriamiento es menor al acercarse a la temperatura ambiente, se propone que la temperatura $T=T(t)$ obedece la siguiente ODE:

$$ \begin{aligned} \dv{T}{t} &= - \alpha (T-T_a), &\text{con $T(t) = T_a$ como solución de equilibrio.} \end{aligned} $$

donde $\alpha>0$ es una constante que modula la taza de enfriamiento y dependerá del objeto o material en cuestión.

La ley de enfrimiento de Newton es una ODE de primer orden, lineal y autónoma con solución extacta, que se determinará más adelante en el curso

Ejemplo: Otra ecuación autónoma¶

$$ \begin{aligned} \dv{y(t)}{t} =& 1 - y^2(t), &\text{con $y(t) = \pm 1$ como solución de equilibrio.} \end{aligned} $$

Si condiciones iniciales cercanas a la solución de equilibrio convergen a ésta, la solución es estable y en caso de converger a otras soluciones entonces tenemos soluciones inestables.

Esta ecuación diferencial igualmente tiene solución exacta por el método de separación de variables.

Ejemplo: Ecuación lineal no autónoma¶

$$ \begin{aligned} \dv{y(t)}{t} =& 3 t + 2 y - 4 \end{aligned} $$

En este caso, la solución analítica a la ODE existe sin embargo notemos que se debe a que es una ecuación lineal de primer orden. A pesar de contar con una solución analítica, analicemos el comportamiento de la ecuación de forma cualitativa.

Ejercicio en clase:¶

Analiza el comportamiento de las siguientes ODE, las cuales describen el comportamiento de dos poblaciones $P$ bajo distintas condiciones:

$$ \begin{align} \dv{P}{t} =& k P, \tag{1}\\ \dv{P}{t} =& k \left(1 - \frac{P}{N}\right)P \tag{2} \end{align} $$

con $k$, $N > 0 $ constantes con unidades apropiadas.

  • ¿Qué hipótesis contempla la Ec. (1)?
  • ¿En qué se diferencia Ec. (1) y Ec. (2)?

Las ecuaciones anteriores tienen, igualmente una solución analítica exacta.